벡터 예제
시작하기에 앞서 몇 가지 벡터를 정의해 보도록 하겠습니다. 여기서 쓰이는 대부분의 벡터는 $ R^{2} $상에 있습니다. $ R^{2} $는 모든 2-튜플의 집합이라는 것을 기억하시죠? 순서가 주어진 2-튜플로써 ($ x_{1} $, $ x_{2} $) 두 수 모두 실수입니다. 그러므로 x1이 실수집합의 원소이고 x2도 마찬가지입니다. 조금 더 명확하게 설명하자면 좌표평면에 x1, x2를 찍어보면 알 수 있습니다. 첫 좌표는 x축에 표시하고 두번째 좌표는 y축에 표시합니다. 이제 $ R^{2} $ 위의 모든 벡터는 말 그대로 무한대로 뻗어나간다면 이 좌표평면 위의 각 점으로 모두 나타낼 수 있습니다. 이게 바로 $ R^{2} $죠. $ R^{1} $은 그저 한 수직선상의 모든 점이에요. 즉 $ R^{2} $가 $ R^{1} $보다 더 큰 공간이라는 것을 금방 확인할 수 있습니다. 몇 가지 예를 들어볼까요?
$ R^{2} $ 위의 벡터 a와 벡터 b를 정의하겠습니다. $\overrightarrow {a} = \begin {bmatrix}-1 \\2 \end {bmatrix}$, $\overrightarrow {b} = \begin {bmatrix}3 \\1 \end {bmatrix}$ 더해서 뭐가 나오는지 한번 볼까요? 기존의 정의대로 더해 봅시다. $\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} = \begin {bmatrix}-1 + 3 \\2 + 1 \end {bmatrix}$ 벡터 덧셈 정의를 이렇게 했죠. 그러면 $\begin {bmatrix}2 \\3 \end {bmatrix}$ 이러한 결과가 나오겠네요. 그러면 이 벡터는 어떻게 나타낼까요? 벡터는 좌표평면 위의 어떤 점에서든 시작할 수 있죠. 2차원 벡터는 $ R^{2} $ 위의 어떤 점에서든 시작할 수 있죠. ($ x_{1} $, $ x_{2} $)에서 시작한다고 해볼까요? 백터 a를 그린다고 가정했을 때 ($ x_{1} -1, x_{2} + 2 $)라고 할 수 있죠.
만약 벡터 a가 위 그래프처럼 (-2, 1)에서 시작한다면 이런 식으로 표현할 수 있죠.
만약 다른 좌표에서 시작했다면 이렇게 표현할 수 있습니다. 둘 다 같은 벡터 a죠. 벡터 b를 한번 나타내볼까요?
위에 보이는 모든 벡터는 전부 다 같은 벡터 b입니다. 하지만 일반적으로 원점이라고 하는 (0, 0)에서 시작합니다. 다시 한번 벡터 a와 벡터 b를 그려볼까요?
이런 식으로 그릴 수 있죠. 한번 $ \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} $도 그려볼까요?
이것은 원점에서 그린 $ \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} $입니다. 조금 더 알기 쉽게 표현해 볼까요?
벡터는 어느 점에서나 시작할 수 있기 때문에 벡터 b를 벡터 a의 끝점에서 벡터 b를 시작해서 $ \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} $를 조금 더 알기 쉽게 표현하였습니다. 이 방식이 바로 두 벡터의 합입니다.
이제 벡터와 스칼라의 곱을 조금 더 다양한 시각적 관점으로 살펴봅시다. 새 벡터인 v를 정의하겠습니다. $\overrightarrow {v} = \begin {bmatrix}1 \\2 \end {bmatrix}$로 정의하고 원점에서 벡터 v를 그린다면
이러한 벡터가 나타나게 됩니다. 이제 벡터 v에 스칼라를 곱하면 어떻게 되는지 살펴봅시다. 2v와 -4v를 확인해볼까요? 2$\overrightarrow {v} = \begin {bmatrix}2 \\4 \end {bmatrix}$고 -4$\overrightarrow {v} = \begin {bmatrix}-4 \\-8 \end {bmatrix}$입니다. 이제 이 벡터들을 좌표평면에 표시하면
이렇게 표현할 수 있죠. 같은 방향이라고 볼 수 있겠지만 사실은 서로 반대 방향에 있습니다. 하지만 같은 직선 상에 있죠. 왜냐하면 -4v의 -부호가 방향을 반대로 바꾸었습니다. 만약에 -1만 곱했다면 벡터 v의 방향만 바뀌고 끝났겠죠. 하지만 4만큼 곱했으므로 길이를 4배 한 다음에 방향까지 바뀐 것입니다. 벡터의 덧셈과 벡터와 스칼라의 곱셈을 이해하면 벡터의 차에 대해서도 이해할 수 있습니다.
일단 $ R^{2} $상의 벡터인 벡터 x와 벡터 y를 정의하겠습니다. $\overrightarrow {x} = \begin {bmatrix}2 \\4 \end {bmatrix}$, $\overrightarrow {y} = \begin {bmatrix}-1 \\-2 \end {bmatrix}$ 이제 $\overrightarrow {x} - \overrightarrow {y}$가 무엇인지 구하고자 합니다. 이 식은 $\overrightarrow {x} - \overrightarrow {y}$ = $\overrightarrow {x} + (-1) * \overrightarrow {y}$ 이런 식으로 변환할 수 있죠. 이제 이 식을 계산해 보면 $\overrightarrow {x} + (-1) * \overrightarrow {y}$ = $ \begin {bmatrix}2 \\4 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix}1 \\2 \end {bmatrix}$ = $\begin {bmatrix}3 \\6 \end {bmatrix}$으로 계산할 수 있죠. 다른 예시를 들어볼까요? $\overrightarrow {x} = \begin {bmatrix}2 \\3 \end {bmatrix}$, $\overrightarrow {y} = \begin {bmatrix}-4 \\-2 \end {bmatrix}$이고 $\overrightarrow {x} - \overrightarrow {y}$ = $\begin {bmatrix}6 \\5 \end {bmatrix}$입니다. 좌표평면에 표시해 볼까요?
이런 식으로 표현할 수 있습니다. 저희는 초등학교 때 7 - 5 = 2라는 사실을 배웠습니다. 그러면 5 + 2 = 7이라는 사실도 알고 있죠. 이 공식을 x - y에 적용하면 벡터 y에 벡터 x - y를 더하면 벡터 x라는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 벡터의 차를 구할 수 있습니다.
