벡터
벡터란 크기와 방향을 동시에 나타낸다.
어떤 물체가 시속 5마일의 속도를 가진다고 하였을 때 이건 벡터가 아니다. 이건 스칼라다.
어떤 물체가 시속 5마일의 속도로 동쪽으로 이동한다고 하였을 때 이건 벡터라고 할 수 있다. 크기와 방향을 가지고 있기 때문이다.
벡터는 2차원, 3차원, 4, 5, ... 차원으로 나타낼 수 있다.
시속 5마일의 속도로 동쪽으로 이동하는 물체의 벡터를 표현하면 양의 방향으로 이동하는 크기가 5인 수직선으로 나타낼 수 있다. 이걸 수식으로 표현하면 벡터 v = (5, 0) = $ \begin{bmatrix}5 \\ 0 \end {bmatrix} $ 이렇게 표현할 수 있다. 첫 좌표는 수평으로 얼마나 움직였는지를 표현하고 두 번째 좌표는 수직으로 얼마나 움직였는지 표현한다. 벡터는 시작점이 달라도 방향과 크기가 같은 벡터는 늘 같은 벡터이다.
만약 수평으로 3칸 수직으로 4칸 움직인 벡터를 표현하면 v = (3, 4) = $ \begin{bmatrix}3 \\ 4 \end {bmatrix} $ 라고 표현할 수 있다. 이 벡터의 크기는 피타고라스 정리를 이용하여 풀 수 있다. 밑변의 길이가 3, 높이가 4이므로 빗변의 길이는 5이다. 따라서 이 벡터의 크기는 5이다.
실좌표공간
|$ R^{2} $ 또는 $ R^{2} $로 표현하는 2차원 실수좌표공간은 실수값을 가진 모든 2-튜플을 말한다. 이때 튜플은 순서가 정해진 숫자들의 리스트이다. 그럼 2-튜플은 숫자 2개의 순서리스트이자 실수 2개의 순서리스트가 된다.
$ \begin{bmatrix}5 \\ 0 \end{bmatrix} $와 $ \begin{bmatrix}3 \\ 4 \end{bmatrix} $같이 둘 중 어느것도 허수가 아니면서 순서대로 값을 가지고 있는것이 튜플이다. 순서가 바뀌면 다른 벡터가 된다. 예를들어 $ \begin{bmatrix}3 \\ 4 \end{bmatrix} $는 수평으로 3칸 수직으로 4칸 움직인 벡터이지만 $ \begin{bmatrix}4 \\ 3 \end{bmatrix} $ 이 벡터는 수평으로 4칸 수직으로 3칸 움직인 벡터가 된다. 크기는 없고 방향도 정해지지 않은 영벡터를 포함한 모든 2-튜플에 대해 벡터들을 조합하여 2차원 실수좌표공간도 만들어낼 수 있다. 이걸 |$ R^{2} $ 또는 $ R^{2} $라고 한다.
$ R^{3} $ 이건 3차원 실수좌표공간이라고 한다. 가능한 모든 실수값을 가지는 3-튜플을 이용할 수 있다.
예를들어 $ \overrightarrow{x} $ = $ \begin{bmatrix}3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} $ 또는 $ \overrightarrow{b} $ = $ \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $는 $R^{3}$이라는 집합의 원소라고 할 수 있다. $ \overrightarrow{x} $ $ \in R^{3} $, $ \overrightarrow{b} $ $ \in $ $ R^{3} $
$ \begin{bmatrix}3 \\ 4 \end{bmatrix} $ 이것은 실수값을 가지는 3-튜플이 아니고 $ R^{2} $에 속하는 벡터입니다. 또 $ \begin{bmatrix}i \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ 이것은 허수가 포함된 튜플이기 때문에 더 이상 실수값을 가지는 3-튜플이 있을 수 없습니다.
일반적으로 실수좌표공간에 대해 이야기할 때 종종 $ R^{n} $이라는 표현을 볼 수 있습니다. 이것은 n차원 실수좌표공간입니다.
